On trouve des singularités partout en géométrie et en analyse, mais si on s’intéresse d’abord à des objets lisses. Un exemple spectaculaire de ce phénomène est la preuve de la conjecture de Poincaré par Perelman, qui utilise le flot de Ricci d’où on enlève les singularités par chirurgie à mesure qu’elles se forment. Il y a beaucoup de percées récentes où une bonne compréhension des singularités permet leur ablation par chirurgie afin de permettre de nouveaux exemples de certaines classes de métriques ou de solutions d’une équation aux dérivées partielles. Pourtant il est parfois impossible d’éviter et d’enlever des singularités, ce qui est naturellement illustré par la première image d’un trou noir produite par le Event Horizon Telescope en 2019. En physique mathématique, il y a même des modèles où des singularités sont nécessaires et même recherchées. Dans la théorie d’éclatement d’équations géométriques, telle l’équation de Yamabe en géométrie conforme, des singularités sont produites par une suite de solutions qui se concentrent. Des types différents de singularités requièrent souvent des outils mathématiques spécifiques; ainsi tout un arsenal a évolué au fil des ans, et c’est une combinaison de ces outils qui souvent donne des résultats remarquables.

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