Les origines de la thématique de cet atelier remontent au travail fondateur de E. Calabi dans les années 1950, en particulier à sa proposition de trouver une métrique kählérienne canonique, dite extrémale, représentant une classe de cohomologie. Calabi montra que cette recherche revient à résoudre une EDP non linéaire. Un exemple particulier de métrique kählérienne extrémale est la célèbre métrique de Kähler-Einstein dont la théorie d’existence est maintenant établie, avec au départ la résolution par Aubin et Yau de la conjecture de Calabi pendant les années 1970 (le cas sans obstruction), et maintenant la résolution de la conjecture de Yau-Tian-Donaldson (YTD) dans le cas Fano avec obstruction. Ces efforts ont motivé une correspondance générale de YTD, qui prédit l’existence de métriques kählériennes spéciales sous une contrainte de stabilité algébro-géométrique des variétés complexes ou algébriques sous-jacentes.Beaucoup de résultats partiels sur ces correspondances de YTD ont été obtenus récemment pour divers cas spéciaux. Par exemple, l’existence de métriques kählériennes à courbure scalaire constante est maintenant établie, et le cas du Fano-logarithmique a été entrepris grâce à des versions avec poids de solitons de Kähler-Ricci. Un autre défi actuel est l’établissement de critères calculables ou même algorithmiques de stabilité algébrique ou pour l’existence de métriques spéciales kählériennes sur une variété donnée; une réussite récente porte sur les variétés sphériques. Finalement, l’existence de métriques kählériennes spéciales, ou de façon équivalente, la propriété de stabilité correspondante, devrait permettre de construire un espace de modules de variétés polarisées.

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